Question

5．如图，已知抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若∠DBA=30°，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

分析 （1）首先求出点A、B坐标，然后根据OA=OC，求得点D坐标，代入抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m＞0），求得抛物线解析式；
（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+$\frac{1}{2}$DF．如答图3，作辅助线，将AF+$\frac{1}{2}$DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

解答 解：（1）抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，
令y=0，解得x=-1或x=2，
则A（-1，0），B（2，0），
∵OA=OC，
∴C（0，-1），
∵点C（0，-1）在抛物线y=m（x+1）（x-2）上，
∴m×（0+1）×（0-2）=-1，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的函数表达式为：y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2）．
（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2-1所示．
设P（m，n），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=m，PN=n．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：n=m+1，
∴P（m，m+1），代入抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2），
得$\frac{1}{2}$（m+1）（m-2）=m+1，
解得：m=4或m=-1（与点A重合，舍去），
∴P（4，5）（不合题意舍去）．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2-2所示．
设P（m，n），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=m，PN=n．
tan∠ABC=tan∠PAB，即：$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{m+1}$，n=$\frac{1}{2}$（m+1），
∴P[m，$\frac{1}{2}$（m+1）]，代入抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2），
得$\frac{1}{2}$（m+1）（m-2）=$\frac{1}{2}$（m+1），
解得：m=3或m=-1（与点A重合，舍去），
∴P（3，2）（不合题意舍去）．
故不存在点P的坐标；
（3）∵∠DBA=30°，
∴设直线BD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∵B（2，0），
∴0=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2+b，解得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故直线BD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
联立两解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{1}{2}（x+1）（x-2）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{2\sqrt{3}+3}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{3\sqrt{3}+2}{3}}\end{array}\right.$．
则D（-$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}+2}{3}$），
如答图3，过点D作DN⊥x轴于点N，过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=$\frac{1}{2}$DF．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+$\frac{1}{2}$DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t_最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
∵A点横坐标为-1，直线BD解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-1）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴F（-1，$\sqrt{3}$）．
综上所述，当点F坐标为（-1，$\sqrt{3}$）时，点M在整个运动过程中用时最少．

点评 本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数m，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．