Question

【题目】点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点（在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是（ ）

A. ②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．

∵ 点 A ，B 的坐标分别为 (2,3) 和 (1,3) ，

∴ 线段 AB 与 y 轴的交点坐标为 (0,3) ，

又 ∵ 抛物线的顶点在线段 AB 上运动，抛物线与 y 轴的交点坐标为 (0,c) ，

∴c≤3 ， ( 顶点在 y 轴上时取“ = ” ) ，故①错误；

∵ 抛物线的顶点在线段 AB 上运动，

∴ 当 x<2 时， y 随 x 的增大而增大，

因此，当 x<3 时， y 随 x 的增大而增大，故②正确；

若点 D 的横坐标最大值为 5 ，则此时对称轴为直线 x=1 ，

根据二次函数的对称性，点 C 的横坐标最小值为 24=6 ，故③错误；

令 y=0 ，则 ax2+bx+c=0 ，

CD2=()24× =，

根据顶点坐标公式， ，

∴=12 ，

∴CD2=×(12)= ，

∵ 四边形 ACDB 为平行四边形，

∴CD=AB=1(2)=3，

∴=32=9 ，

解得 a= ，故④正确；

综上所述，正确的结论有②④.

故选A.