Question

如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．

Answer 1

证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，∵AE=AE，CE=EH，
∴Rt△ACE≌Rt△AHE（HL）。∴AC=AH。
∵AE平分∠CAB，∴∠CAF=∠HAF。
在△CAF和△HAF中，∵AC=AH，∠CAF=∠HAF，AF=AF，
∴△CAF≌△HAF（SAS）。∴∠ACD=∠AHF。
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CDA=∠ACB=90°。∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°。
∴∠ACD=∠B=∠AHF。∴FH∥CE。
∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH。
∴四边形CFHE是平行四边形。
∵CE=EH，∴四边形CFHE是菱形。

试题分析：求出CE=EH，AC=AH，证△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF∥CE，推出CF∥EH，得出平行四边形CFHE，根据菱形判定推出即可。