Question

5．如图，在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，在AD上取一点E，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）试探究AE、ED、DG之间有何数量关系？说明理由；
（2）判断△ABG与△BFE是否相似，并对结论给予证明；
（3）设AD=a，AB=b，BC=c．
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a、b、c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）由折叠得到∠EGB=∠EAB=90°，再利用勾股定理即可；
（2）先判断△EAB≌△EGB，然后∠ABG=∠EFB和∠BAG=∠FBE，即可得到结论；
（3）由（2）中的结论△ABG∽△BFE得出结论，再判定出△ABD∽△HCD得出比例式，就找到结论，再由根与系数的关系，判断计算即可．

解答 解（1）AE²+DG²=ED²；
理由：据折叠性质得：△EAB≌△EGB，AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，
∴在Rt△EGD中，
由勾股定理得：EG²+DG²=ED²，
∴AE²+DG²=ED²，
（2）△ABG∽△BFE．
理由：∵∠ABC=∠BAC=90°
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
即△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB．
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE．
∴△ABG∽△BFE．
（3）①∵△ABG∽△BFE，
∴∠EFB=∠GBA，
∴∠C=∠ABG，
∵∠DAB=∠DHC=90°，
∴△ABD∽△HCD，
∴$\frac{AD}{DH}=\frac{AB}{HC}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{b}{c-a}$，
∴a²+b²=ac．
②当b=2时，设关于a的一元二次方程a²-ac+2²=0的两根为a₁，a₂，
得：a₁•a₂=c＞0，a₁+a₂=4＞0，
∴a₁＞0，a₂＞0，
由题意a₁=a₂，
∴△=0，即c²-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2，
∴H为BC中点，且ABHD为正方形，
∴DH=HC，
∴∠C=45°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，一元二次方程的根与系数关系，解本题的关键是判断三角形相似，用韦达定理是解本题的难点．