Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；

②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②点F的坐标为F（，）

【解析】试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中点，从而只需取AB点G，连接EG，则有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；

（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同样可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，证全等即可；

②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式，设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．

解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE≌△ECF．

（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．

证明：如图2，在AB上截取AG=EC．

∵AB=BC，

∴BG=BE，

∴△GBE是等腰直角三角形，

∴∠AGE=180°﹣45°=135°，

∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AGE=∠ECF，

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AGE≌△ECF，

∴AE=EF．

②由题意可知抛物线经过A（0，1），D（1，1）两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，

过点F作FH⊥x轴于H，

由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a﹣1，

∴点F的坐标为F（a，a﹣1），

∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，

∴a﹣1=﹣a2+a+1，

∴a=（负值不合题意，舍去），

点F的坐标为F（，）.