Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图像经过点B、D．

【小题1】请直接写出用m表示点A、D的坐标
【小题2】求这个二次函数的解析式；
【小题3】点Q为二次函数图像上点P至点B之间的一点，连结PQ、BQ，求四边形ABQP面积的最大值．

Answer 1

【小题1】A(3－m，0)，D(0，m－3 )
【小题2】设以P（1，0）为顶点的抛物线的解析式为y＝a(x－1)²(a≠0)
∵抛物线过点B、D，
∴   解得 …………4分
所以二次函数的解析式为y＝(x－1)²，
即：y＝x²－2x＋1 …………5分
【小题3】设点Q的坐标为(x，x²－2 x＋1)，显然1＜x＜3 …6分
连结BP，过点Q作QH⊥x轴，交BP于点H.

∵A（－1，0），P（1，0），B（3，4）
∴AP＝2，BC＝3，PC＝2
由P（1，0），B（3，4）求得直线BP的解析式为y＝2x－2
∵QH⊥x轴，点Q的坐标为(x，x²－2 x＋1)
∴点H的横坐标为x，∴点H的坐标为(x，2x－2)
∴QH＝2x－2－(x²－2x＋1)＝－x²＋４x－3 …………7分
∴四边形ABQP面积S＝S_△APB＋S_△QPB＝×AP×BC＋×QH×PC
＝×2×4＋×(－x²＋４x－３)×2
＝－x²＋４x＋1＝－(x－2)²＋5 …………9分
∵1＜x＜3
∴当x＝2时，S取得最大值为5， …………10分
即当点Q的坐标为(2，1)时，四边形ABQP面积的最大值为5

解析