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6.如图,BD是△ABC的角平分线,点E、F分别在BC、AB上,且DE∥AB,∠DEF=∠A,EF与BD相交于点M,以下结论:①△BDE是等腰三角形;②四边形AFED是菱形;③BE=AF;④若AF:BF=3:4,则△DEM的面积:△BAD的面积=9:49,以上结论正确的是(  )
A.①②③④B.①③④C.①③D.③④

分析 根据角平分线的性质得到∠DBE=∠ABD,根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDE,等量代换得到∠DBE=∠BDE,于是得到△BDE是等腰三角形,故①正确;根据平行线的性质得到∠BAC+∠ADE=180°,得到EF∥AD,证得四边形ADEF为平行四边形,故②错误;等量代换得到BE=AF;故③正确;如图,连接DF,根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△DEM}}{{S}_{△BFM}}$=($\frac{DE}{BF}$)2=$\frac{9}{16}$,$\frac{EM}{FM}=\frac{DE}{BF}$=$\frac{3}{4}$,根据图象面积的和差得到△DEM的面积:△BAD的面积=9:49,故④正确.

解答 证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠DBE=∠ABD,
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE,
∴∠DBE=∠BDE,
∴BE=DE,
∴△BDE是等腰三角形,故①正确;
∵DE∥AB,
∴∠BAC+∠ADE=180°,
∵∠DEF=∠BAC,
∴∠DEF+∠ADE=180°,
∴EF∥AD,
∴四边形ADEF为平行四边形,故②错误;
∴AF=DE,
∴BE=AF;故③正确;
如图,连接DF,
∵DE∥AB,
∴△DEM∽△BFM,
∴$\frac{{S}_{△DEM}}{{S}_{△BFM}}$=($\frac{DE}{BF}$)2
∵DE=AF,AF:BF=3:4,
∴$\frac{{S}_{△DEM}}{{S}_{△BFM}}$=($\frac{DE}{BF}$)2=$\frac{9}{16}$,$\frac{EM}{FM}=\frac{DE}{BF}$=$\frac{3}{4}$,
∴$\frac{{S}_{△DFM}}{{S}_{△DEM}}$=$\frac{4}{3}$,
∴S四边形AFMD=$\frac{11}{3}$S△DEM,S△BFM=$\frac{16}{9}$S△DEM
∴△DEM的面积:△BAD的面积=9:49,故④正确,
故选B.

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质:两个三角形相似对应角相等,对应边的比相等.在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.解决本题的关键是灵活应用平行线分线段成比例定理.

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