【题目】已知,等边三角形ABC的边长为5,点P在线段AB上,点D在线段BC上,且△PDE是等边三角形.
(1)初步尝试:若点P与点A重合时(如图1),BD+BE= .
(2)类比探究:将点P沿AB方向移动,使AP=1,其余条件不变(如图2),试计算BD+BE的值是多少?
(3)拓展迁移:如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,点P在线段AB的延长线上,点D在线段CB的延长线上,在△PDE中,PD=PE,∠DPE=70°,设BP=a,请直接写出线段BD、BE之间的数量关系(用含a的式子表示)
【答案】(1)5;(2)4;(3)BD﹣BE =2acos55°.
【解析】试题分析:(1)先判断出∠BPE=∠CAD,进而判断出△PBE≌△ACD,即可得出BD+BE=BC=5;
(2)先构造出等边三角形,再判断出∠BPE=∠FPD,进而判断出△PBE≌△PFD,即可得出BD+BE=BF=4;
(3)类似于(2)的方法判断出△PBE≌△PFD得出BE=DF,再判断出BF=2BG,利用用锐角三角函数求出BG=acos55°,即可BD-BE=BF=2acos55°.
试题解析:解:(1)∵△ABC和△PDE是等边三角形,
∴PE=PD,AB=AC,∠DPE=∠CAB=60°,
∴∠BPE=∠CAD,
∴△PBE≌△ACD,
∴BE=CD,
∴BD+BE=BD+CD=BC=5,
故答案为5;
(2)如图2,过点P作PF∥AC交BC于F,
∴△FPB是等边三角形,
∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4,∠BPF=60°,
∵△PDE是等边三角形,
∴PD=PE,∠DPE=60°,
∴∠BPE=∠FPD,
∴△PBE≌△PFD,
∴BE=DF,
∴BD+BE=BD+DF=BF=4;
(3)如图3,
过点P作PF∥AC交BC于F,
∴∠BPF=∠BAC=70°,∠PFB=∠C,
∵AB=AC,∠BAC=70°,
∴∠ABC=∠C=55°,
∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°,
∴PF=PB=a,
∵∠BPF=∠DPE=70°,
∴∠DPF=∠EPB,
∵PD=PE,
∴△PBE≌△PFD,
∴BE=DF,
过点P作PG⊥BC于G,
∴BF=2BG,
在Rt△BPG中,∠PBD=55°,
∴BG=BPcos∠PBD=acos55°,
∴BF=2BG=2acos55°,
∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2acos55°.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系,O为坐标原点,点A(﹣2,0),点B(0,2).
(1)直接写求∠BAO的度数;
(2)如图1,将△AOB绕点O顺时针得△A′OB′,当A′恰好落在AB边上时,设△AB′O的面积为S1,△BA′O的面积为S2,S1与S2有何关系?为什么?
(3)若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置,S1与S2的关系发生变化了吗?证明你的判断.
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【题目】如图,二次函数y=x2﹣6
x+5
的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,连接BC.
(1)直接写出点B、C的坐标,B ;C .
(2)点P是y轴右侧拋物线上的一点,连接PB、PC.若△PBC的面积15,求点P的坐标.
(3)设E为线段BC上一点(不含端点),连接AE,一动点M从点A出发,沿线段AE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止,当点E的坐标是 时,点M在整个运动中用时最少,最少用时是 秒.
(4)若点Q在y轴上,当∠AQB取得最大值时,直接写出点Q的坐标 .
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以AB中点E为圆心,EA为半径画弧交CD于点F,点F恰好为CD中点,若∠B=60°,BC=2,则图中阴影部分的面积为_____.
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【题目】在世界经济的影响下,国家采取扩大内需的政策,基建投资成为拉动内需最强有力的引擎,金强公司中标一项工程,在甲、乙两地施工,其中甲地需推土机30台,乙地需推土机26台,公司在A、B两地分别库存推土机32台和24台,现从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是400元和300元.从B地运一台到甲、乙两地的费用分别为200元和500元,设从A地运往甲地x台推土机,运这批推土机的总费用为y元.
(1)根据题意,可将库存地和施工地之间推土机的运输数量列表如下:
甲地(台) | 乙地(台) | 合计 | |
A地 | x | A地库存:32 (台) | |
B地 | B地库存:24 (台) | ||
合计 | 甲地需求:30 (台) | 乙地需求:26 (台) | 总计:56 (台) |
(2)求y与x的函数关系式;
(3)当x取何值时,能使运送这批推土机的总费用最少?
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【题目】某校进行校园美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标,经测算:甲队单独完成这项工程需要60天,如果由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙合作24天完成.
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工一天,需要支付工程款3.5万元,乙队施工一天需要支付工程款2万元:如果规定在70天内完成这项工作,是由甲、乙两队单独完成省钱?还是由甲乙合作完成该工程省钱?
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【题目】如图,四边形OABC是平行四边形,以O为圆心,OA为半径的圆交AB于D,延长AO交⊙O于E,连接CD,CE,若CE是⊙O的切线,解答下列问题:
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若BC=3,CD=4,求平行四边形OABC的面积.
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【题目】为了提高学生书写汉字的能力,增强保护汉字的意识,我市举办了首届“汉字听写大赛”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时听写50个汉字,若每正确听写出一个汉字得1分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) |
第1组 | 25≤x<30 | 4 |
第2组 | 30≤x<35 | 8 |
第3组 | 35≤x<40 | 16 |
第4组 | 40≤x<45 | a |
第5组 | 45≤x<50 | 10 |
请结合图表完成下列各题:
(1)求表中a的值;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)若测试成绩不低于40分为优秀,则本次测试的优秀率是多少?
(4)第5组10名同学中,有4名男同学,现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习,且4名男同学每组分两人,求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率.
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【题目】矩形纸片ABCD中,AB=10,AD=8,将纸片折叠,使点B落在CD上的B′处,折痕为AE,在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等,则此相等的距离为_____.
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