Question

（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A₁B₁D₁C₁；在等腰直角三角形OA₁B₁中作内接正方形A₂B₂D₂C₂；在等腰直角三角形OA₂B₂中作内接正方形A₃B₃D₃C₃；…；依次做下去，则第n个正方形A_nB_nD_nC_n的边长是

1

3n

．

Answer 1

分析：过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A₁B₁于点N，由三角形OAB与三角形OA₁B₁都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A₁B₁的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A₁B₁的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．

解答：解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A₁B₁于点N，如图所示：
∵A₁B₁∥AB，
∴ON⊥A₁B₁，
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM=

1

2

AB=

1

2

，
又∵△OA₁B₁为等腰直角三角形，
∴ON=

1

2

A₁B₁=

1

2

MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1个正方形的边长A₁C₁=MN=

2

3

OM=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
同理第2个正方形的边长A₂C₂=

2

3

ON=

2

3

×

1

6

=

1

32

，
则第n个正方形A_nB_nD_nC_n的边长为：

1

3n

．
故答案为：

1

3n

．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．