Question

如图，在△ABC中，D为AB上一点，⊙O经过B、C、D三点，∠COD＝90°，∠ACD＝∠BCO＋∠BDO．

(1)求证：直线AC是⊙O的切线；

(2)若∠BCO＝15°，⊙O的半径为2，求BD的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连接OB． 　　∵∠COD＝90°， 　　∴∠CBD＝45°． 　　∵OB＝OC，OB＝OD， 　　∴∠OBC＝∠BCO， 　　∠OBD＝∠BDO． 　　∵∠CBD＝45°，(3分) 　　∴∠BCO＋∠BDO＝45°． 　　∵∠ACD＝∠BCO＋∠BDO， 　　∴∠ACD＝45°．(5分) 　　在Rt△COD中，OC＝OD． 　　∴∠OCD＝45°． 　　∴∠OCA＝90°． 　　∴直线AC是⊙O的切线．(6分) 　　(2)过O作OE⊥BD，垂足为E． 　　∴BD＝2DE． 　　∵∠BCO＋∠BDO＝45°，∠BCO＝15°， 　　∴∠BDO＝30°． 　　在Rt△DOE中， 　　DE＝OD·cos30° 　　＝2× 　　＝． 　　∴BD＝2．(10分)