分析 (1)连接OD,由∠ADE+∠DAE=90°,∠DAE=∠DAO=∠ODA,即可证明∠ODE=90°.
(2)利用△DAE∽△CAD得到AD2=AC•AE求出AE,再根据DE2=EA•EB解决问题.
解答 (1)证明:如图1作连接OD.
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,
∵DA平分∠CAM,
∴∠DAE=∠OAD=∠ODA,
∵DE⊥MN,
∴∠DEA=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠ADE+∠ODA=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥AE,
∴AE是⊙O的切线.
(2)解:如图2中,设AE=x,则DE=6-x,AD=$\sqrt{{x}^{2}+(6-x)^{2}}$,
∵AC是直径,
∴∠ADC=90°,
∵∠ADC=∠DEA=90°,∠DAC=∠DAE,
∴△DAE∽△CAD,
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$,
∴AD2=AC•AE,
∴x2+(6-x)2=10x
x=2(或9不合题意舍弃)
∴AE=2,ED=4,
∵DE是切线,
∴DE2=EA•EB,
∴16=2(2+AB),
∴AB=6.
点评 本题考查圆的切线的判定、直径的性质、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识,在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键.
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