解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
把A(1,4);B(3,0)代入得
,
解得
,
所以直线AB的解析式为y=-2x+6;
线段AB的长=
=2
;
(2)△ABC为等腰直角三角形.理由如下:
∵AB为⊙M的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC
2+BC
2=AB
2,
设C点坐标为(0,t),
∴BC
2=(3-0)
2+(0-t)
2=9+t
2,AC
2=(1-0)
2+(4-t)
2=1+(4-t)
2,
而AB=2
,
∴9+t
2+1+(4-t)
2=20,
解得t
1=1,t
2=3,
∴C点坐标为(0,1),
∴BC
2=9+t
2=10,AC
2=1+(4-t)
2=10,即AC=BC,
∴△ABC为等腰直角三角形;
(3)如图,∵AB为⊙M的直径,
∴∠APB=90°,
∵∠BAP=∠OBC,
∴Rt△APB∽Rt△BOC,
∴
=
=
,即
=
=
=
,
∴PA=3
,PB=
,
设P点坐标为(a,b),
∴(a-1)
2+(b-4)
2=(3
)
2,(a-3)
2+(b-0)
2=(
)
2,
∴a=
,b=-
;a=4,b=1;
∴P点坐标为(
,-
)或(4,1),
设直线AP的解析式为y=mx+n,
过A(1,4)和P(
,-
)的解析式为y=-7x+11,把y=0代入得-7x+11=0,解得x=
,则Q点坐标为(
,0);
过A(1,4)和P(4,1)的解析式为y=-x+5,把y=0代入得-x+5=0,解得x=5,则Q点坐标为(5,0);
∴满足条件的Q点坐标为(
,0)或(5,0).
分析:(1)利用待定系数法确定直线AB的解析式;运用两点的距离公式可计算得到AB=2
;
(2)由于AB为⊙M的直径,根据圆周角定理得∠ACB=90°,设C点坐标为(0,t),根据两点的距离公式得到BC
2=(3-0)
2+(0-t)
2,AC
2=1+(4-t)
2,
然后利用勾股定理得9+t
2+1+(4-t)
2=20,解得t
1=1,t
2=3,则C点坐标为(0,1),所以BC
2=9+t
2=10,AC
2=1+(4-t)
2=10,即AC=BC,于是可判断△ABC为等腰直角三角形;
(3)设P点坐标为(a,b),先证明Rt△APB∽Rt△BOC,利用
=
=
可计算出PA=3
,PB=
,再根据两点的距离公式得到(a-1)
2+(b-4)
2=(3
)
2,(a-3)
2+(b-0)
2=(
)
2,可解得a=
,b=-
;a=4,b=1;然后利用待定系数法确定直线AP的解析式,最后确定Q点坐标.
点评:本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理和待定系数法求函数的解析式;记住两点的距离公式;会运用勾股定理和三角形相似比进行几何计算.