Question

15．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点C（0，4），矩形OABC的对角线的交点为M，点P（2，3）．
（1）直线OB的解析式为y=2x；
（2）过点P且与直线OB平行的直线的解析式为y=2x-1；
（3）点M的坐标为（1，2）；
（4）点Q在直线AC上，△QMB的面积与△PMB的面积相等，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出B（2，4），再设直线OB的解析式为为y=kx，将B点坐标代入，利用待定系数法即可求解；
（2）设过点P且与直线OB平行的直线的解析式为y=2x+b，将P（2，3）代入，利用待定系数法即可求解；
（3）根据矩形的性质得出M是线段AC的中点，再利用中点坐标公式即可求解；
（4）由△QMB的面积与△PMB的面积相等，根据三角形的面积公式可知Q到BM的距离等于P到BM的距离．再分①Q在BM的下方；②Q在BM的上方两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A（2，0），点C（0，4），
∴B（2，4）．
设直线OB的解析式为为y=kx，
则2k=4，解得k=2，
∴直线OB的解析式为为y=2x．
故答案为y=2x；

（2）设过点P且与直线OB平行的直线的解析式为y=2x+b，
将P（2，3）代入，
得4+b=3，解得b=-1，
所以过点P且与直线OB平行的直线的解析式为y=2x-1．
故答案为y=2x-1；

（3）∵矩形OABC的对角线的交点为M，
∴M是线段AC的中点，
∵点A（2，0），点C（0，4），
∴M（1，2）．
故答案为（1，2）；

（4）∵点Q在直线AC上，△QMB的面积与△PMB的面积相等，
∴Q到BM的距离等于P到BM的距离．
①如果Q在BM的下方，那么PQ∥BM，Q为直线AC与直线y=2x-1的交点．
∵点A（2，0），点C（0，4），
∴直线AC的解析式为y=-2x+4．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴点Q₁的坐标为（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）；
②如果Q在BM的上方，那么Q与（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）关于点M对称，
∵M（1，2），
∴点Q₂的坐标为（1×2-$\frac{5}{4}$，2×2-$\frac{3}{2}$），即（$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{2}$）；
故所求点Q的坐标为（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了一次函数的解析式的求法，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，线段中点坐标公式，三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．