Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处．
（1）若CF=2，①当CE长为多少时，使得EP∥AB；②求点P到AB距离的最小值；
（2）若点P能落在线段AB上，则求CF的最小值．

Answer 1

分析 （1）①如图1，延长EP交AC于G，根据折叠的性质得到PF=CF=2，∠FPE=∠C=90°，PF=CE，根据相似三角形的性质得到FG=$\frac{5}{2}$，PG=$\frac{3}{2}$，根据勾股定理即可得到即可．
②如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到$\frac{AF}{AB}=\frac{FM}{BC}$，求出FM即可解决问题；
（2）根据折叠的性质得到PF=CF，∠FPE=∠C=90°，PF=CE，当PF取最小值时，CF的值最小，推出当FP⊥AB时，PF的值最小，此时，点B与E重合，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
（1）①如图1，延长EP交AC于G，
∵将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，
∴PF=CF=2，∠FPE=∠C=90°，PF=CE，
∴∠GPF=90°，
∵PE∥AB，
∴∠PGF=∠A，
∴△FPG∽△BCA，
∴$\frac{PF}{BC}=\frac{FG}{AB}$=$\frac{PG}{AC}$，即$\frac{2}{8}$=$\frac{FG}{10}$=$\frac{PG}{6}$，
∴FG=$\frac{5}{2}$，PG=$\frac{3}{2}$，
∵GE²=CG²+CE²，
∴（CE+$\frac{3}{2}$）²=（2+$\frac{5}{2}$）²+CE²，
∴CE=6；
②如图2，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）
∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{FM}{BC}$，
∵CF=2，AC=6，BC=8，
∴AF=4，AB=10，
∴$\frac{4}{10}$=$\frac{FM}{8}$，
∴FM=3.2，
∵PF=CF=2，
∴PM=1.2
∴点P到边AB距离的最小值是1.2；
（2）如图3，∵将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，
∴PF=CF，∠FPE=∠C=90°，PF=CE，
∵当PF取最小值时，CF的值最小，
∵点P能落在线段AB上，
∴当FP⊥AB时，PF的值最小，
此时，点B与E重合，
∴BP=BC=8，
∴AP=2，AF=6-CF，
∵AF²=AP²+PF²，
∴（6-CF）²=2²+CF²，
∴CF=$\frac{8}{3}$，
∴CF的最小值是$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．