Question

15．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接AF，CE．
（1）求证：AF=CE；
（2）试确定，当菱形ABCD再满足一个什么条件时，四边形AECF为矩形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由四边形ABCD是菱形，可得AB=CD，AB∥CD，又由E、F分别是AB、CD的中点，即可证得AE=CF，又由AE∥CF，证得四边形AECF是平行四边形，则问题得证．
（2）若菱形ABCD的内角∠B=60°时，则四边形AECF为矩形，根据等边三角形的三线合一证明即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF．
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF=CE；
（2）菱形ABCD的内角∠B=60°时，则四边形AECF为矩形，
理由如下：
连接AC，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE=BE，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF为矩形．

点评 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质以及矩形的判定、等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记各种特殊几何图形的判定方法及其性质．