Question

17．已知平面直标系中，两点A（0，6），B（8，3），求点C的坐标，使得△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 分当A是直角三角形的直角顶点时，当C在AB的下侧或上侧；以及当B是直角三角形的直角顶点时，当C在AB的下侧或上侧；以及当C是直角三角形的直角顶点时，当C在AB的下侧或上侧共6种情况进行讨论，利用全等三角形的判定与性质以及相似三角形的性质即可求解．

解答 解：1）当A是直角三角形的直角顶点时，当C在AB的下侧时，设是C₁，作BD⊥y轴于点D，作C₁E⊥y轴于点D．
∵∠C₁AE+∠BAD=90°，
又∵直角△AC₁E中，∠C₁AE+∠C₁=90°，
∴∠C₁=∠BAD，
在△AC₁E和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{C}_{1}=∠BAC}\\{∠AE{C}_{1}=∠ADB}\\{AB=A{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AC₁E≌△BAD，
∴C₁E=AD，AE=BD，
∵A（0，6），B（8，3），
∴C₁E=AD=6-3=3，AE=BD=8，
∴OE=AE-OA=8-6=2，
∴C₁的坐标是（-3，-2）；
2）当A是直角三角形的直角顶点时，当C在AB的下侧时，设是C₂，此时与C₁关于A对称，则C₂的坐标是：（3，14）；
3）当B是直角三角形的直角顶点，当C在AB的下侧时，设是C₃，作C₃F⊥BD于点F，同1）可得：△AC₁E≌△C₃FB，
则BF=C₁E=3，C₃F=AE=8，
则C₃的坐标是：（5，-5）；
4）当B是直角三角形的直角顶点，当C在AB的上侧时，设是C₄，
则B是C₃C₄的中点，设C₄的坐标是（x，y），则$\frac{3+x}{2}$=8，$\frac{-5+y}{2}$=3，
解得：x=13，y=11，
则C₄的坐标是（13，11）；
5）当C是直角顶点，则C一定在AB的中垂线上，在AB的下方时，设为C₅，作C₅H⊥y轴于H，过AB的中点G作GI⊥y轴于点I．
则△AHC₅∽△GIA，且相似比是：$\frac{A{C}_{5}}{AG}$=$\sqrt{2}$，GI=4，
∴$\frac{AH}{IG}$=$\frac{HG}{AI}$=$\sqrt{2}$，
∴AH=$\sqrt{2}$IG=4$\sqrt{2}$，
∴OH=OA-AH=6-4$\sqrt{2}$，HG=$\sqrt{2}$AI=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴C₅的坐标是：（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，6-4$\sqrt{2}$）；
6）当C是直角顶点，则C一定在AB的中垂线上，在AB的上方时，设是C₆，C₅和C₆关于G（4，$\frac{9}{2}$）对称，方法同4）即可求得C₆的坐标是（$\frac{16-3\sqrt{2}}{2}$，3+4$\sqrt{2}$）．
总之，C的坐标是：（-3，-2）或（3，14）或（5，-5）或（13，11）或（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，6-4$\sqrt{2}$）或（$\frac{16-3\sqrt{2}}{2}$，3+4$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确进行讨论是关键．