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    在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=2
    		2
    ，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
    （1）求证：∠1=∠2．
    （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
    （3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．
    分析：（1）求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2，求出即可．
    （2）分为三种情况，①DE=AE，②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质（等腰三角形两边相等），三角形全等推出即可．
    （3）存在，条件是CD=AC，求出∠DE′A=∠CAD=22.5°，根据CD=CA可得∠CAD=∠ADC，∠ADE=45°可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CAD；再根据∠CAD+∠E′=∠ADE可得∠CAD=∠E′．
    解答：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
    ∴∠B=∠C=45°，
    ∵∠ADE=45°，
    ∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2，
    即45°+∠2=45°+∠1，
    ∴∠1=∠2．

    （2）解：当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况：
    第一种情况：DE=AE，
    ∵DE=AE，
    ∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C，
    ∴∠AED=90°，∠ADC=90°，
    即DE⊥AC，
    ∴AD=DC，
    ∴E为AC的中点，
    ∴AE=
    1
    2
    AC=
    1
    2
    ×2=1；
    第二种情况：AD=DE，此时D和B重合，E和C重合，
    即AE=AC=2；
    第三种情况：AD=DE，
    ∵在△ABD和△DCE中
    ∠BAD=∠CDE(∠1=∠2)
    ∠B=∠C
    AD=DE

    ∴△ABD≌△DCE，
    ∴BD=CE，AB=DC，
    设BD=CE=x，
    在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=2
    		2
    ，
    ∴DC=2
    		2
    -x，
    ∴2
    		2
    -x=2，
    x=2
    		2
    -2，
    ∴AE=2-（2
    		2
    -2）=4-2
    		2
    ，
    综合上述：AE的值是1，2，4-2
    		2
    ．

    （3）解：存在，当D在BC延长线上，且CD=CA时，△ADE′是等腰三角形，
    理由是：∵∠ACB=45°，
    ∴∠ADB＜45°，
    ∴∠EDB＜90°，
    ∴∠BDE′永远是钝角，
    ∴∠ADE′是钝角，
    即∠ADE′只能为等腰△ADE′的顶角，
    ∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′，
    又∵CD=CA，
    ∴∠CAD=∠CDA=22.5°，
    ∴∠EDC=67.5°，
    ∴∠DE′C=∠EDC-∠DCE′=22.5°，
    ∴∠CAD=∠CE′D，
    ∴DA=DE′，
    ∴△ADE′是等腰三角形．
    点评：本题考查了等腰三角形的性质与等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形等指示灯的应用，用了分类讨论思想．
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    a
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    a
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