(2013•和平区二模)如图.已知抛物线y=ax2+bx-2经过点A．(Ⅰ)求此抛物线的解析式.Ⅰ把解析式化为顶点式,(Ⅱ)点P是抛物线对称轴上的动点.当AP⊥CP时.求点P的坐标,(Ⅲ)设直线BC与x轴交于点D.点H是抛物线与x轴的一个交点.点E(t.n)是抛物线上的动点.四边形OEDC的面积为S．当S取何值时.满足条件的点E只有一个?当S取何值时.满足条件的点E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•和平区二模）如图，已知抛物线y=ax²+bx-2经过点A（2，3），B（6，1）．
（Ⅰ）求此抛物线的解析式，Ⅰ把解析式化为顶点式；
（Ⅱ）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（Ⅲ）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？

分析：（1）把点A（2，3），B（6，1）代入抛物线，求出解析式即可；
（2）设点P（

，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′、C′，利用相似三角形的进一步解决问题；
（3）首先求出直线BC的解析式，确定D点的位置，再进一步计算探讨即可．

解答：解：（1）把点A（2，3），B（6，1）代入抛物线y=ax²+bx-2得

4a+2b-2=3

36a+6b-2=1

，
解得a=

，b=

，
此抛物线的解析式为y=-

x²+

x-2=-

（x-

）²+

；

（2）如图

设点P（

，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得

AA′

PC′

A′P

CC′

即

-2

m+2

3-m

解得m₁=

，m₂=-

，
P（

，

）或（

，-

）；

（3）如图

由B（6，1），C（0，-2），
得直线BC的解析式为y=

x-2，
∴D（4，0），
当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，
此时S=

×4×2+

×4×

，
∵S△BOC=

×2×6=6，
∴当6＜S＜

时，满足条件的点E有两个．

点评：此题考查了根据已知条件求抛物线解析式，一次函数，相似三角形等知识解题．

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