Question

13．已知：如图，PC切⊙O于点C，PA交⊙O于点A，B．
（1）求证：△PAC∽△PCB．
（2）若AB=2，AP=3，求切线PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据弦切角定理得到∠PCA=∠B，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到PC²=PA•PB，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵PC切⊙O于点C，割线PAB交⊙O于点A、B，
∴∠PCA=∠B，
∵∠P是公共角，
∴△PAC∽△PCB；

（2）解：由（1）得△PAC∽△PCB，
∴PA：PC=PC：PB，
∴PC²=PA•PB，
∵PA=3，AB=2，
∴PB=PA+AB=5，
∴PC²=3×5=15，
解得：PC=$\sqrt{15}$．

点评 此题考查了切线的性质、弦切角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．