Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x=-1，其中B（1，0），C（0，-3）．
（Ⅰ）求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（Ⅱ）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；
（Ⅲ）求使y≥-3的x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（Ⅱ）求出二次函数的顶点坐标，再求出S_△ABD的面积；
（Ⅲ）利用图象得出当x≥0时，y≥-3．由抛物线的对称轴为直线x=-1，得出答案．

解答：解：（Ⅰ）∵A、B两点关于对称轴x=-1对称，
∴点A（-3，0）．
于是有

(-3)2a+(-3)b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得：a=1，b=2，c=-3．
二次函数的解析式是：y=x²+2x-3；

（Ⅱ）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（-1，-4）．
又∵AB=4，
∴S_△ABD=

1

2

×4×4=8；

（Ⅲ）∵当x=0时，y=-3，且抛物线的开口向上，
∴当x≥0时，y≥-3．
由抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x≤-2时，y≥-3．
∴当x≤-2或x≥0时，y≥-3．

点评：此题主要考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据数形结合得出使y≥-3的x的取值范为是解决问题的关键．