Question

10．已知：如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x²-7x-8=0的一个根，请解答下列问题：
（1）求点B坐标；
（2）双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）与直线AB交于点C，且AC=5$\sqrt{5}$，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=$\sqrt{5}$，直线l⊥y轴，垂足为点P（0，7），点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-7x-8=0得：x=8，或x=-1，得出OA=8，A（-8，0），代入y=$\frac{1}{2}$x+b求出b=4，即可得出B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，过点C作CH⊥x轴于H，则CH∥OB，由平行线得出△AOB∽△AHC，得出$\frac{OB}{CH}=\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{AH}$，求出CH=5，AH=10，得出OH=2，C（2，5），代入双曲线切线k=10即可；
（3）分两种情况：①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为（-1，11）或（-7，3）；
②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为（-4，-1）或（0，-1）．

解答 解：（1）解方程x²-7x-8=0得：x=8，或x=-1，
∵线段OA的长是方程x²-7x-8=0的一个根，
∴OA=8，∴A（-8，0），
代入y=$\frac{1}{2}$x+b得：-4+b=0，
∴b=4
∴B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，OA=8，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：
则CH∥OB，
∴△AOB∽△AHC，
∴$\frac{OB}{CH}=\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{AH}$，
即$\frac{4}{CH}=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}=\frac{8}{AH}$，
解得：CH=5，AH=10，
∴OH=10-8=2，
∴C（2，5），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）经过点C，
∴k=2×5=10；
（3）存在，理由如下：
分两种情况：
①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作EG⊥x轴于G，作EM⊥AC交直线l于M，如图2所示：
则EG∥OB，
∴△AGE∽△AOB，
∴$\frac{EG}{OB}=\frac{AG}{AO}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{1}{4}$，
∴EG=$\frac{1}{4}$OB=1，AG=$\frac{1}{4}$AO=2，
∴OG=8-2=6，
∴E（-6，1），
∵EM⊥AC，
∴设直线EM的解析式为y=-2x+c，
把点E（-6，1）代入得：12+c=1，
解得：c=-11，
∴直线EM的解析式为y=-2x-11，
当y=7时，7=-2x-11，
∴x=-9，
∴M（-9，7），
∵C（2，5），
∴点N的坐标为（-1，11）；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为（-7，3）；
②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作EG⊥l于G，CH⊥l于H，如图3所示：
则∠EGM=∠MHC=90°，EG=7-1=6，CH=7-5=2，
∵四边形EMCN是矩形，
∴∠EMC=90°，
由角的互余关系得：∠GEM=∠HMC，
∴△EGM∽△MHC，
∴$\frac{GM}{CH}=\frac{EG}{MH}$，
∴GM•MH=CH•EG=2×6=12，
又∵GM+MH=6+2=8，
∴GM=2，MH=6，
∴M的坐标为（-4，7），
∵E（-6，1），C（2，5），
∴N（0，-1）；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为（-4，1）；
综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为（-1，11）或（-7，3）或（-4，-1）或（0，-1）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，本题综合性强，有一定难度．