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    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2a，CD=a，BC=2，四边形BEFG是矩形，点E、F分别在腰BC、AD上，点G在AB上．设FG=x，矩形BEFG的面积为y．
    （1）求y关于x的函数关系式；
    （2）当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，求x的值；
    （3）当∠DAB=30°时，矩形BEFG是否能成为正方形？若能，求其边长；若不能，请说明理由．

    【答案】分析：（1）过点D作DH⊥AB于H．由于△AGF∽△AHD，得到AG的值，有BG=AB-AG，再利用y=S矩形=FG•BG而得到y关于x的函数关系式．
    （2）求得梯形的面积，由矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半建立方程，求得x的值．
    （3）由正切的概念可得到CD=2，从而得到EF＞2＞FG，故矩形BEFG不能成为正方形．
    解答：解：（1）过点D作DH⊥AB于H，
    ∵在矩形BEFG中，FG⊥AB，所以FG∥DH，
    ∴△AGF∽△AHD，
    ∴，
    即，得，
    ∴．
    因此，
    ∵y=FG•BG=x×=-ax2+2ax，
    即所求的函数关系式为y=-ax2+2ax （0＜x＜2）．

    （2）依题意，得-ax2+2ax=×（a+2a）×2，
    因为a≠0，解以上方程得，x1=1，x2=3．
    因为0＜x≤2，所以x=3舍去，取x=1．
    故当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，x的值为1．

    （3）矩形BEFG不能成为正方形．
    在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，∴，即
    EF≥CD=a=2，即EF＞2．
    又∵0＜x≤2，即0＜FG≤2，∴EF＞FG，
    因此矩形BEFG不能成为正方形．
    点评：本题利用了梯形和矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念求解，还应用了一元二次方程的解法．
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    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
    cm．（结果精确到0.1cm）

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    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

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    （1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．
    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

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