【题目】已知过点A(0,1)的椭圆C: +
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2 , B为椭圆上的任意一点,且
|BF1|,|F1F2|,
|BF2|成等差数列.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:y=k(x+2)交椭圆于P,Q两点,若点A始终在以PQ为直径的圆外,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)
解:∵ |BF1|,|F1F2|,
|BF2|成等差数列,
∴2|F1F2|= |BF1|+
|BF2|=
(|BF1|+|BF2|),
由椭圆定义得22c= 2a,
∴c= a;
又椭圆C: +
=1(a>b>0)过点A(0,1),
∴b=1;
∴c2=a2﹣b2=a2﹣1= a2,
解得a=2,c= ;
∴椭圆C的标准方程为 +y2=1;
(2)
解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)
联立方程 ,消去y得:
(1+4k2)x2+16k2x+(16k2﹣4)=0;
依题意直线l:y=k(x+2)恒过点(﹣2,0),此点为椭圆的左顶点,
∴x1=﹣2,y1=0,﹣﹣﹣﹣①
由方程的根与系数关系可得,x1+x2= ;②
可得y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k;③
由①②③,解得x2= ,y2=
;
由点A在以PQ为直径的圆外,得∠PAQ为锐角,即
>0;
由 =(﹣2,﹣1),
=(x2,y2﹣1),
∴
=﹣2x2﹣y2+1>0;
即 +
﹣1<0,
整理得,20k2﹣4k﹣3>0,
解得:k<﹣ 或k>
,
∴实数k的取值范围是k<﹣ 或k>
【解析】(1)由题意,利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系,再根据椭圆C过点A,求出a、b的值,即可写出椭圆C的标准方程;(2)设P(x1 , y1),Q(x2 , y2),根据题意知x1=﹣2,y1=0;联立方程 消去y,由方程的根与系数关系求得x2、y2 , 由点A在以PQ为直径的圆外,得∠PAQ为锐角,
>0;由此列不等式求出k的取值范围.
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【题目】观察下列两个等式:2﹣=2×
+1,5﹣
=5×
+1,给出定义如下:我们称使等式a﹣b=ab+1的成立的一对有理数a,b为“共生有理数对”,记为(a,b),如:数对(2,
),(5,
),都是“共生有理数对”.
(1)数对(﹣2,1),(3,)中是“共生有理数对”的是 ;
(2)若(m,n)是“共生有理数对”,则(﹣n,﹣m) “共生有理数对”(填“是”或“不是”);
(3)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为 ;(注意:不能与题目中已有的“共生有理数对”重复)
(4)若(a,3)是“共生有理数对”,求a的值.
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【题目】某高新技术公司要生产一批新研发的A款手机和B款手机,生产一台A款手机需要甲材料3kg,乙材料1kg,并且需要花费1天时间,生产一台B款手机需要甲材料1kg,乙材料3kg,也需要1天时间,已知生产一台A款手机利润是1000元,生产一台B款手机的利润是2000元,公司目前有甲、乙材料各,则在300kg不超过120天的情况下,公司生产两款手机的最大利润是元.
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【题目】已知函数f(x)=1+2cosxcos(x+3φ)是偶函数,其中φ∈(0, ),则下列关于函数g(x)=cos(2x﹣φ)的正确描述是( )
A.g(x)在区间[﹣ ]上的最小值为﹣1.
B.g(x)的图象可由函数f(x)向上平移2个单位,在向右平移 个单位得到.
C.g(x)的图象可由函数f(x)的图象先向左平移 个单位得到.
D.g(x)的图象可由函数f(x)的图象先向右平移 个单位得到.
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【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,E是CD的中点,D1E⊥CD,AB=2BC=2.
(1)求证:BC⊥D1E;
(2)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为 ,求线段D1E的长度.
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【题目】已知函数f(x)=xlnx﹣mx的图象与直线y=﹣1相切. (Ⅰ)求m的值,并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若g(x)=ax3 , 设h(x)=f(x)﹣g(x),讨论函数h(x)的零点个数.
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【题目】哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛,经过层层筛选,最后五名同学进入了总决赛.在进行笔答题知识竞赛中,最后一个大题是选做题,要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答,假设这5位选手选做每一题的可能性均为 . (Ⅰ)求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率.
(Ⅱ)设这5位选手中选做第1题的人数为X,求X的分布列及数学期望.
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