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【题目】已知过点A(0,1)的椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2 , B为椭圆上的任意一点,且 |BF1|,|F1F2|, |BF2|成等差数列.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:y=k(x+2)交椭圆于P,Q两点,若点A始终在以PQ为直径的圆外,求实数k的取值范围.

【答案】
(1)

解:∵ |BF1|,|F1F2|, |BF2|成等差数列,

∴2|F1F2|= |BF1|+ |BF2|= (|BF1|+|BF2|),

由椭圆定义得22c= 2a,

∴c= a;

又椭圆C: + =1(a>b>0)过点A(0,1),

∴b=1;

∴c2=a2﹣b2=a2﹣1= a2

解得a=2,c=

∴椭圆C的标准方程为 +y2=1;


(2)

解:设P(x1,y1),Q(x2,y2

联立方程 ,消去y得:

(1+4k2)x2+16k2x+(16k2﹣4)=0;

依题意直线l:y=k(x+2)恒过点(﹣2,0),此点为椭圆的左顶点,

∴x1=﹣2,y1=0,﹣﹣﹣﹣①

由方程的根与系数关系可得,x1+x2= ;②

可得y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k;③

由①②③,解得x2= ,y2=

由点A在以PQ为直径的圆外,得∠PAQ为锐角,即 >0;

=(﹣2,﹣1), =(x2,y2﹣1),

=﹣2x2﹣y2+1>0;

+ ﹣1<0,

整理得,20k2﹣4k﹣3>0,

解得:k<﹣ 或k>

∴实数k的取值范围是k<﹣ 或k>


【解析】(1)由题意,利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系,再根据椭圆C过点A,求出a、b的值,即可写出椭圆C的标准方程;(2)设P(x1 , y1),Q(x2 , y2),根据题意知x1=﹣2,y1=0;联立方程 消去y,由方程的根与系数关系求得x2、y2 , 由点A在以PQ为直径的圆外,得∠PAQ为锐角, >0;由此列不等式求出k的取值范围.

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