Question

【题目】已知过点A（0，1）的椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2 ， B为椭圆上的任意一点，且 |BF1|，|F1F2|， |BF2|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ |BF1|，|F1F2|， |BF2|成等差数列，

∴2|F1F2|= |BF1|+ |BF2|= （|BF1|+|BF2|），

由椭圆定义得22c= 2a，

∴c= a；

又椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点A（0，1），

∴b=1；

∴c2=a2﹣b2=a2﹣1= a2，

解得a=2，c= ；

∴椭圆C的标准方程为 +y2=1；

（2）

解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）

联立方程 ，消去y得：

（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0；

依题意直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，

∴x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①

由方程的根与系数关系可得，x1+x2= ；②

可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k；③

由①②③，解得x2= ，y2= ；

由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，即 ＞0；

由 =（﹣2，﹣1）， =（x2，y2﹣1），

∴ =﹣2x2﹣y2+1＞0；

即 + ﹣1＜0，

整理得，20k2﹣4k﹣3＞0，

解得：k＜﹣ 或k＞ ，

∴实数k的取值范围是k＜﹣ 或k＞

【解析】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），根据题意知x1=﹣2，y1=0；联立方程 消去y，由方程的根与系数关系求得x2、y2 ， 由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角， ＞0；由此列不等式求出k的取值范围．