Question

7．某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店经营，了解到一种成本每本20元的书在x天销售量P=50-x．在第x天的售价每本y元，y与x的关系如图所示．  已知当社会实践活动时间超过一半后．y=20+$\frac{315}{x}$
（1）请求出当1≤x≤20时，y与x的函数关系式，并求出第12天此书的销售单价；
（2）这40天中该网点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

Answer 1

分析 （1）当1≤x≤20时，设y=kx+b，将（1，30.5），（20，40）代入，利用待定系数法求出y与x的函数关系式；然后在每个x的取值范围内，令y=35，分别解出x的值即可；
（2）利用利润=售价-成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，获得的利润w与x的函数关系式；再利用二次函数及反比例函数的性质求出最大值，然后比较即可．

解答 解：（1）当1≤x≤20时，设y=kx+b，将（1，30.5），（20，40）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=30.5}\\{20k+b=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=30}\end{array}\right.$，
则y与x的函数关系式为：y=$\frac{1}{2}$x+30（1≤x≤20），
当x=12时，y=6+30=36，
答：函数关系式为：y=$\frac{1}{2}$x+30，第12天该商品的销售单价为每本36元；

（2）设该网店第x天获得的利润为w元．
当1≤x≤20时，w=（$\frac{1}{2}$x+30-20）（50-x）=-$\frac{1}{2}$x²+15x+500=-$\frac{1}{2}$（x-15）²+$\frac{1225}{2}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x=15时，w有最大值w₁，且w₁=$\frac{1225}{2}$，
当21≤x≤40时，w=（20+$\frac{315}{x}$-20）（50-x）=$\frac{15750}{x}$-315，
∵15750＞0，
∴$\frac{15750}{x}$随x的增大而减小，
∴x=21时，$\frac{15750}{x}$最大．
于是，x=21时，w有最大值w₂，且w₂=$\frac{15750}{21}$-315=435，
∵w₁＞w₂，
∴这40天中该网点销售此书第15天获得的利润最大，最大的利润是612.5元．

点评 本题考查了反比例函数、二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值的求法，难度适中．