Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a（x﹣h）2﹣4（a＞0）与x轴分别交于原点O、A两点，点A在x轴的正半轴上，顶点为D，直线y= x交抛物线于B点，过B作BE∥x轴交抛物线另一点E，交对称轴于F．

（1）当DF=4a时，求BE的长．
（2）如图2，连AD，连接AD绕点A旋转交直线OB于点G，点D的对应点为G，当OG=2时，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当0＜a＜1时，以OB为直径作圆交x轴下方抛物线于点P，求点P坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，

由题意D（h，﹣4），

∵DF=4a，

∴点F坐标（h，4a﹣4），

当y=4a﹣4时，4a﹣4=a（x﹣h）2﹣4，

解得x=h±2，

∴B（2+h，4a﹣4），E（h﹣2，4a﹣4），

∴BE=（2+h）﹣（h﹣2）=4．

（2）解：如图2中，由题意OG=2，可得G（﹣ ，﹣1）或G′（ ，1）．

当AD=AG，A（2h，0），D（h，﹣4），

∴（2h+ ）2+1=h2+16，

∴h= 或﹣2 （舍弃），

∴A（ ，0），代入y=a（x﹣h）2﹣4，解得a=3，

当AD=AG′时，（2h﹣ ）2+1=h2+16，

解得h=2 或﹣ （舍弃），

∴A（4 ，0），代入y=a（x﹣h）2﹣4，解得a= ，

综上所述，A的值为3或 ．

（3）解：由题意抛物线的解析式为y= x2﹣ x，

由 ，解得 ，或 ，

∴B（5 ，5），

∴OB=10，

∴线段OB的中点O′（ ， ）

设P（m， m2﹣ m），

由题意PO′=5，

∴（m﹣ ）2+（ m2﹣ m﹣ ）2=52，

∴m2﹣5 m+ +（ m2﹣ m）2﹣5（ m2﹣ m）+ =25，

∴m2﹣5 m+（ m2﹣ m）（ m2﹣ m﹣5）=0，

∴m2﹣5 m+ m（m﹣4 ）（m﹣5 ）（m+ ）=0

∴ m（m﹣5 ）（m2﹣3 m﹣3）=0

∴m=0或5 或 或 ，

∵点P在x轴下方，

∴P（ ， ）．

【解析】（1）由顶点式求出D（h,-4),再表示出B纵坐标，y=4a﹣4代入解析式，求出B、E两点的横坐标，求出其差，就是BE；（2）AD绕点A旋转交直线OB于点G，位置有两个，分类讨论，利用两点间距离公式列出方程，求出a值；（3）求出OB的中点，就是圆心，利用“圆上任意点到圆心距离等于半径”及两点间距离公式，列出方程，求出P的横坐标m.