Question

（2003•广州）已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）
（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；
（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．
（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ=90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ的范围．
解答：解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=13；
∵Q是BC的中点，
∴CQ=QB；
又∵PQ∥AC，
∴AP=PB，即P是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CP=．

（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．
以CQ为直径作半圆D，
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则
DM⊥AB，且AC=AM=5，
∴MB=AB-AM=13-5=8；
设CD=x，则DM=x，DB=12-x；
在Rt△DMB中，DB²=DM²+MB²，
即（12-x）²=x²+8²，
解之得x=，
∴CQ=2x=；
即当CQ=且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．
②当＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形
③当0＜CQ＜时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．
∴当≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．
点评：综合运用了直角三角形的性质、圆周角定理的推论以及切线的性质和勾股定理进行计算．