Question

【题目】我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2 ．
（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC= ， OC△OA=；

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；

（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON= AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）0；7
（2）

解：①如图2，取BC的中点O，连接AO，

∵AB=AC，

∴AO⊥BC，

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，

∴AO=2，OB=2 ，

∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，

②取AC的中点D，连接BD，

∴AD=CD= AC=2，

过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，

在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，

∴∠ABE=30°，

∵AB=4，

∴AE=2，BE=2 ，

∴DE=AD+AE=4，

在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD= = =2 ，

∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；

（3）

解：如图3，

设ON=x，OB=OC=y，

∴BC=2y，OA=3x，

∵AB△AC=14，

∴OA2﹣OB2=14，

∴9x2﹣y2=14①，

取AN的中点D，连接BD，

∴AD=DB= AN= × OA=ON=x，

∴OD=ON+DN=2x，

在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，

∵BN△BA=10，

∴BD2﹣DN2=10，

∴y2+4x2﹣x2=10，

∴3x2+y2=10②

联立①②得， 或 （舍），

∴BC=4，OA=3 ，

∴S△ABC= BC×AO=6 ．

【解析】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=10，
∵点O是BC的中点，
∴OA=OB=OC= BC=5，
∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，②如图1，
取AC的中点D，连接OD，

∴CD= AC=3，
∵OA=OC=5，
∴OD⊥AC，
在Rt△COD中，OD= =4，
∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，
故答案为0，7；
（1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=2 ，再用新定义即可得出结论；②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2 ， 最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．