Question

10．已知关于x的方程（k-1）x²-（k-1）x+$\frac{1}{4}$=0有两个相等的实数根，求k的值，并求此时该方程的根．

Answer 1

分析 由方程有两个相等的实数根，可得出△=0且二次项系数≠0，解方程和不等式即可得出k值，将其代入原方程中，解方程即可得出结论．

解答 解：∵关于x的方程（k-1）x²-（k-1）x+$\frac{1}{4}$=0有两个相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{k-1≠0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{[-（k-1）]^{2}-4（k-1）×\frac{1}{4}=0}\\{k-1≠0}\end{array}\right.$，
解得：k=2．
当k=2时，原方程为x²-x+$\frac{1}{4}$=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$=0，
解得：x₁=x₂=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式，解题的关键是由方程由两个相等的实数根得出关于k的一元二次方程即一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式，得出不等式（方程或方程组）是关键．