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17.如图,正△ABO的边长为2,O为坐标原点,A在x轴上,B在第二象限,△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚,经一次翻滚后得到△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是(5,$\sqrt{3}$),翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为($\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896)π.

分析 如图作B3E⊥x轴于E,易知OE=5,B3E=$\sqrt{3}$,观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M的运动路径为$\frac{120•π•\sqrt{3}}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$=($\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$)π,由2017÷3=672…1,可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•($\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$)π+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π=($\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896)π.

解答 解:如图作B3E⊥x轴于E,易知OE=5,B3E=$\sqrt{3}$,
∴B3(5,$\sqrt{3}$),
观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M的运动路径为$\frac{120•π•\sqrt{3}}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$=($\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$)π,
∵2017÷3=672…1,
∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•($\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$)π+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π=($\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896)π.
故答案为($\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896)π.

点评 本题考查轨迹、规律题、弧长公式、等边三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,循环从特殊到一般的探究方法,属于中考常考题型.

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①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.
证明过程如下:设P(m,$\frac{k}{m}$),直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则$\left\{\begin{array}{l}{-ka+b=-1}\\{ma+b=\frac{k}{m}}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=}\\{b=}\end{array}\right.$$\frac{1}{m}$
$\frac{k}{m}$-1
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{k}{m}$-1
请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.
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