Question

在平面直角坐标系中，菱形OABC的OC边落在x轴上，∠AOC=60°，OA=．若菱形OABC内部（边界及顶点除外）的一格点P（x，y）满足：x²-y²=90x-90y，就称格点P为“好点”，则菱形OABC内部“好点”的个数为（ ）
（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）

A．145
B．146
C．147
D．148

Answer 1

【答案】分析：过A作AQ⊥OC于Q，过B作BH⊥X轴于H，求出OQ、AQ，根据x²-y²=90x-90y，求出x=y，x+y=90，求出BH=90  OA：y′=x（1）y=x时，有90-1=89个点符合（2）y=-x+90时，令y=y'则x=45（-1），y=-x+90时有90-32-1=57个点符合，有57+89-1=145个点符合，即可得到答案．
解答：解：过A作AQ⊥OC于Q，过B作BH⊥X轴于H，
∵∠A0C=60°，OA=60，
∴∠OAQ=30°，
∴OQ=30，
由勾股定理得：AQ=90，
∵x²-y²=90x-90y，
∴（x-y）（x+y-90）=0，
∴x=y，x+y=90，
BH=90  OA：y′=x
（1）y=x时，令y=90 则x=90，
作直线y=x的图象，交AB于D，
∵AQ=90，
∴D（90，90），
∵边界及顶点除外
∴y=x时有90-1=89个点符合（D点除外），
（2）y=-x+90时，
∵直线OA的解析式为y′=x，
∴令y=y'则x=45（-1）
∵≈1.732
∴x≈32.9（取x=33），
则直线OA于直线y=-x+90的交点是（45-45，135-45），
再令y=0 则x=90，
∵边界及顶点除外，
∴y=-x+90时有90-32-1=57个点符合，
∴有57+89-1=145个点符合，
故选A．
点评：本题主要考查对菱形的性质，勾股定理，含30度得直角三角形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能根据已知条件找出规律是解此题的关键．