分析 (1)由$\sqrt{\frac{a}{4}}$=$\sqrt{2}$.求出a=8,由勾股可求得AB即可解答;
(2)①△CDE为等腰直角三角形;如图1,过点C作CG⊥OA于G,证明△EOD≌△DGC(SAS),得到ED=DC,∠EDO=∠DCG,又∠DCG+∠CDG=90°,∠EDO+∠CDG=90°,所以△CDE为等腰直角三角形;
②首先证明△CDF为等腰直角三角形,过点F作FM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,连接OF,证明△FMD≌△DNC(AAS),得到FM=DN,DM=CN,再证明FM=OM,ON=CN,再根据S△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$OA×CN+$\frac{1}{2}$OB×ON=24,解得ON=$\frac{24}{7}$,即可解答.
解答 解:(1)由$\sqrt{\frac{a}{4}}$=$\sqrt{2}$.
∴a=8,
∴点A(8,0),B(0,6)
由勾股可求得AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$;
(2)①如图1,过点C作CG⊥OA于G,
∵C为AB的中点,AD=AC,BE=BC.
∴AD=AC=BE=BC=5,
∴OE=1,CG=3,DG=1,OD=3,
即OE=DG,OD=CG,又∠CGD=∠EOD=90°,
∴△EOD≌△DGC(SAS),
∴ED=DC,∠EDO=∠DCG,
又∠DCG+∠CDG=90°,
∴∠EDO+∠CDG=90°,
∴△CDE为等腰直角三角形;
②∵AD=AC,BE=BC,
∴∠BCE=∠BEC,∠ACD=∠ADC,
又∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠FCD=45°,
又∵DF⊥CD,
∴△CDF为等腰直角三角形,
如图②过点F作FM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,连接OF,OC,
易证△FMD≌△DNC(AAS)
∴FM=DN,DM=CN,
∵F(m,-m),
∴FM=OM,
易证ON=CN,
S△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$OA×CN+$\frac{1}{2}$OB×ON=24,
即$\frac{1}{2}$(OA+OB)×ON=24,
解得ON=$\frac{24}{7}$,
∴C($\frac{24}{7}$,$\frac{24}{7}$).
点评 本题考查了等腰直角三角形的性质定理与判定定理,解决本题的关键是作出辅助线,构建全等三角形.
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