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【题目】如图,已知:抛物线yax+1)(x3)与x轴相交于AB两点,与y轴的交于点C0,﹣3).

1)求抛物线的解析式的一般式.

2)若抛物线上有一点P,满足∠ACO=∠PCB,求P点坐标.

3)直线lykxk+2与抛物线交于EF两点,当点B到直线l的距离最大时,求BEF的面积.

【答案】1yx22x3;(2)(45)或();(310

【解析】

1)把C点坐标代入y=ax+1)(x-3)中求出a的值即可得到抛物线解析式;
2)分两种情况,当点P在直线BC的下方时,过点BBEBCCP的延长线于点E,过点EEMx轴于点M,由直角三角形的性质可求得MEBM长,求出点E的坐标,可求出直线CE的解析式,联立直线和抛物线方程可求出点P的坐标;当点P在直线BC的上方时,过点BBFBCCP于点F,同理求出点F的坐标和直线CF的解析式,联立直线和抛物线方程可求得点P的坐标;
3)求出直线y=kx-k+2恒过定点H12),连结BH,当BH⊥直线l时,点B到直线l的距离最大时,求出此时k的值,可求出点EF的坐标,则BEF的面积可求出.

解:(1)把C0,﹣3)代入yax+1)(x3),

得﹣3a=﹣3,解得a1

所以抛物线解析式为y=(x+1)(x3),即yx22x3

2)当点P在直线BC的下方时,如图1,过点BBEBCCP的延长线于点E,过点EEMx轴于点M

y=(x+1)(x3),

y0时,x=﹣1x3

A(﹣10),B30),

OBOC3

∴∠ABC45°

∵∠ACO=∠PCB

∵∠CBE90°

∴∠MBE45°

BMME1

E4,﹣1),

设直线CE的解析式为ykx+b

解得:

∴直线CE的解析式为

解得

代入

当点P在直线BC的上方时,过点BBFBCCP于点F,如图2

同理求出FNBN1

F21),

求出直线CF的解析式为y2x3

解得:x10x24

P45).

综合以上可得点P的坐标为(45)或();

3)∵直线lykxk+2

y2kx1),

x10y20

∴直线ykxk+2恒过定点H12),如图3,连结BH,当BH⊥直线l时,点B到直线l的距离最大时,

求出直线BH的解析式为y=﹣x+3

k1

∴直线l的解析式为yx+1

解得:

E(﹣10),F45),

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成绩x(分)分数段

频数(人)

频率

50≤x<60

10

0.05

60≤x<70

30

0.15

70≤x<80

40

0.2

80≤x<90

m

0.35

90≤x<100

50

n

频数分布直方图

根据所给的信息,回答下列问题:

1m=________n=________

2)补全频数分布直方图;

3)这200名学生成绩的中位数会落在________分数段;

4)若成绩在90分以上(包括90分)为等,请你估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩是等的约有多少人?

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