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    （2013•平南县二模）如图，在扇形EAB中，半径长AB=10，∠EAB=90°；以AB为直径作半圆O，点D是弧BE上的一个动点，BD与半圆O交于点C，DG⊥AB于点G，DG与AC交于点F，连结OF．
    （1）求证：DC=BC；
    （2）设AG=x，FG2=y，试求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
    （3）若点G落在线段OB上，当△FOG∽△ABC时，求线段AG的长度．
    分析：（1）如图，连接AD，构建等腰△ABD，理由等腰三角形的“三线合一”的性质证得结论；
    （2）在直角△ADG中，由勾股定理得到：DG2=AD2-AG2=100-x2，则易求DG=
    		100-x2
    ；然后通过相似三角形Rt△AFG∽Rt△DBG的对应边成比例知：
    FG
    AG
    =
    BG
    DG
    ，即
    FG
    x
    =
    10-x
    		100-x2
    ，易求y=FG2=
    x2(10-x)
    10+x
    ，期中，x的取值范围为：0≤x≤10；
    （3）在点D运动过程中，若点G落在线段OB上，且△FOG∽△ABC时．结合Rt△AFG∽Rt△ABC，推知Rt△FOG∽Rt△AFG，则该相似三角形的对应边成比例：
    FG2=AG•OG=x（x-5），解得：x=
    5±5
    		17
    4
    ，经检验可知，AG=
    5+5
    		17
    4
    ．
    解答：
    （1）证明：如图，连接AD．
    ∵点D、B在弧BE上，
    ∴AD=AB．
    ∵点C在半圆O上，AB为半圆O的直径，
    ∴∠ACB=90°，即AC⊥BD，
    ∴DC=BC；

    （2）∵AD=AB=10，AG=x，
    ∴BG=10-x．
    ∵DG⊥AB于点G，
    ∴在直角△ADG中，DG2=AD2-AG2=100-x2，
    ∴DG=
    		100-x2
    ．
    ∵∠CAB+∠B=∠D+∠B=90°，
    ∴∠FAG=∠D，
    ∴Rt△AFG∽Rt△DBG，
    ∴
    FG
    AG
    =
    BG
    DG
    ，
    ∴
    FG
    x
    =
    10-x
    		100-x2
    ，则FG=
    x(10-x)
    		100-x2
    ，
    ∴y=FG2=
    x2(10-x)
    10+x
    ，期中，x的取值范围为：0≤x≤10；

    （3）在点D运动过程中，若点G落在线段OB上，且△FOG∽△ABC时．
    ∵Rt△AFG∽Rt△ABC，
    ∴Rt△FOG∽Rt△AFG，
    ∴FG2=AG•OG=x（x-5），
    ∴
    x2(10-x)
    10+x
    =x（x-5），
    解得：x=
    5±5
    		17
    4
    ，
    经检验可知，AG=
    5+5
    		17
    4
    ．
    综上所述，当△FOG∽△ABC时，AG=
    5+5
    		17
    4
    ．
    点评：本题综合考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质．难度较大，需要学生对所学知识有一个系统的，综合性的掌握．
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    52013-1
    4
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    4
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    1
    2
    )-1-
    		12
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    x+2y=1
    3x-2y=11.
    ．

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