Question

如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A=∠B=30度．BD是⊙O的切线吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：可以先猜想BD是⊙O的切线，根据切线的判定进行分析，得到OD是圆的半径，且OD⊥BD，从而可得到结论．
解答：解：BD是⊙O的切线．（2分）
连接OD；
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，（4分）
∵∠A=∠B=30°，
∴∠BDA=180°-（∠A+∠B）=120°，（7分）
∴∠BDO=∠BDA-∠ADO=90°，
即OD⊥BD，
∴BD是⊙O的切线．（9分）

理由1：连接OD，∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，（4分）
∵∠A=∠B=30°，
∴∠BDA=180°-（∠A+∠B）=120，（7分）
∴∠BDO=∠BDA-∠ADO=90°，即OD⊥BD．
∴BD是⊙O的切线．（9分）
理由2：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，（4分）
∴∠BOD=∠ADO+A=60°，（7分）
∵∠B=30°，
∴∠BDO=180°-（∠BOD+∠B）=90°，
即OD⊥BD，
∴BD是⊙O的切线．
（9分）
理由3：连接OD，∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，（4分）
在BD的延长线上取一点E，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ADE=∠A+∠B=60°，（7分）
∴∠EDO=∠ADO+∠ADE=90°，即OD⊥BD
∴BD是⊙O的切线．（9分）
理由4：连接OD，∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，（4分）
连接CD，则∠ADC=90°，（5分）
∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60°，（6分）
∵OD=OC，
∴∠OCD=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BDC=∠OCD-∠B=30°，（7分）
∴∠ODB=∠ODC+∠BDC=90°，
即OD⊥BD，
∴BD是⊙O的切线．（9分）
点评：本题考查切线的判定方法及圆周角定理的综合运用．