【题目】如图1,在等边△ABC中,点P是边BC上一动点(点P不与点B重合),且BP<PC,点B关于直线AP的对称点为D,连接CD、BD.
(1)依题意补全图形;
(2)若∠BAP=α,则∠BCD=______(用含α的式子表示);
(3)过点D作DE⊥DC,交直线AP于点E,连接EB、EC,判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)答案见解析;(2)α;(3)S△DEC=2S△ABE,证明见解析.
【解析】
(1)由题意画出图形;
(2)由轴对称的性质可得AP垂直平分BD,可得AB=AD=AC,∠BAP=∠PAD=α,由等腰三角形的性质可求解;
(3)由“SAS”可证△BAE≌△DAE,可得S△BAE=S△DAE,由等腰三角形的性质和平行线的性质可得S△DEC=2S△ABE.
(1)如图1所示;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°.
∵点B关于直线AP的对称点为D,
∴AP垂直平分BD,
∴AB=AD,且AP⊥BD,
∴∠BAP=∠PAD=α,
∴∠DAC=60°﹣2α.
∵AD=AC,
∴∠ACD60°+α,
∴∠BCD=α.
故答案为:α;
(3)S△DEC=2S△ABE,
理由如下:
如图2,过点A作AH⊥CD,连接EH,
∵AC=AD,AH⊥CD,
∴DH=CH,
∴S△DEC=2S△DEH,
∵DE∥AH,
∴S△AED=S△DEH,
∵AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE,
∴△BAE≌△DAE(SAS),
∴S△BAE=S△DAE,
∴S△DEC=2S△ABE.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O ,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接AD,DE.
(1)求证:D是BC的中点
(2)若DE=3, AD=1,求⊙O的半径.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,过点(﹣4,0),(0,﹣2).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)当﹣4<x<4时,求y的取值范围.
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【题目】某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动,为了解情况,学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间,并将统计的时间(单位:小时)分成5组,A:0.5≤x<1,B:1≤x<1.5,C:1.5≤x<2,D:2≤x<2.5,E:2.5≤x<3,制作成两幅不完整的统计图(如图).
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)学生会随机调查了 名学生;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校有900名学生,估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC交AC于点E,AC的反向延长线交⊙O于点F.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠C=30°,⊙O的半径为6,求弓形AF的面积.
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【题目】阅读下列材料:有这样一个问题:关于的一元二次方程有两个不相等的且非零的实数根探究,,满足的条件.
小明根据学习函数的经验,认为可以从二次函数的角度看一元二次方程,下面是小明的探究过程:①设一元二次方程对应的二次函数为;
②借助二次函数图象,可以得到相应的一元二次中,,满足的条件,列表如下:
方程根的几何意义:
方程两根的情况 | 对应的二次函数的大致图象 | ,,满足的条件 |
方程有两个不相等的负实根 | ||
____________ | ||
方程有两个不相等的正实根 | ____________ | ____________ |
(1)参考小明的做法,把上述表格补充完整;
(2)若一元二次方程有一个负实根,一个正实根,且负实根大于-1,求实数的取值范围.
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