Question

13．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A； ②EF=BE+CF；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=$\frac{1}{2}$mn； ④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是①②③．

Answer 1

分析 由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=$\frac{1}{2}$mn正确；因为得不出BE=AE，CF=AF，所以EF不是△ABC的中位线．

解答 解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；故①正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故②正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=$\frac{1}{2}$AE•OM+$\frac{1}{2}$AF•OD=$\frac{1}{2}$OD•（AE+AF）=$\frac{1}{2}$mn；故③正确；
因为已知中没有说明AE=BE，AF=CF，
所以得不出EF是△ABC的中位线，
故④错误．
故答案为：①②③．

点评 此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．