Question

如图，已知在Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，AN是过点A的任一条直线，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E．
（1）求证：DE=BD-CE；
（2）如将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它不经过△ABC的内部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？如存在，请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
又∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE=CE+DE，
∴BD=DE+CE，
即DE=BD-CE．

（2）DE=BD+CE．
证明与（1）相同．
分析：（1）证明△ABD≌△CAE，即可证得BD=AE，AD=CE，而AE=AD+DE=CE+DE，即可证得；
（2）图形变换了，但是（1）中的全等关系并没有改变，可得DE、DB、CE之间的等量关系．
点评：根据条件证明两个三角形全等是解决本题的关键，注意在图形的变化中找到其中不变的因素．