Question

（2013•吉安模拟）如图，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，BC=4，若点E是AD上的一个动点（与点A不重合），且0＜AE≤2，沿BE将△ABE对折后，点A落到点P处，连接PC．
（1）下列说法正确的序号是

①②④

①．△ABE与△PBE关于直线BE对称
②．以B为圆心、BA的长为半径画弧交BC于H，则点P在AH上（点A除外）
③．线段PC的长有可能小于2．
④．四边形ABPE有可能为正方形
（2）试求下列情况下的线段PC的长（可用计算器，精确到0.1）．
①以P、C、D为顶点的三角形是等腰三角形；
②直线CP与BE垂直．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质，以及圆的定义即可作出判断；
（2）①以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况，点P与BC的中点H重合时和点P在CD的中垂线上两种情况进行讨论，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的长；
②设CP⊥BE于G，则△PGB∽△BPE，△EAB∽△BGC，根据三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：解：（1）①根据折叠的性质可得△ABE与△PBE关于直线BE对称，则正确；
②根据BA=BP=BH可得：点P在弧AH上；
③当AE=AB=2时，PC的长度最小，此时P在BC上，则PC=2，四边形ABPE是正方形，故③错误，④正确．

（2）①以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况．
第1种情况：如答图1，点P与BC的中点H重合时：CH=CD．
即PC=CH=2；
第2种情况：点P在CD的中垂线上时，PD=PC，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，
则四边形PFCK是矩形，PF=CK=1，PB=2．
∴BF=

3

，
∴FC=4-

3

，
PC²=（4-

3

）²+1²，
∴PC≈2.5．
②如答图2，设CP⊥BE于G，
∵BP⊥EP．
∴△PGB∽△BPE．

PG

BP

=

BP

BE

∴BG•BE=4…①
又∵∠AEB=∠EBC，∠EAB=∠BGC=90°，△EAB∽△BGC
∴

BE

BC

=

AE

BG

，
BE•BG=4•AE…②
由①、②得AE=1
∴PE=AE=1，
∴BE=

5

，BG=

4

BE

=

4

5

，
又∵PG×BE×

1

2

=PE•PB×

1

2

∴PG=

2

5

，CG²=4²-（

4

5

）²
∴CG=

8

5

∴PC=CG-PG=

8

5

-

2

5

=

6 5

5

≈2.7．
故答案是：①②④．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及折叠的性质，以及三角形的面积的计算，根据三角形的面积求得CG是关键．