Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，OA是BC边上的中线，将△ABC绕BC的中点O旋转到△A′B′C′的位置．
（1）写出三条不同类型的结论；
（2）连接A′B′，CC′，试猜想∠ABC，∠A′BA，∠ACC′之间的等量关系，并证明；
（3）当旋转角等于∠B时，∠A′BA与∠ACC′有什么关系？说明理由．

Answer 1

解：（1）∠BAC=90°，∠AOA′=∠COC′=∠B′OB，△ABC≌△A′B′C′，等；

（2）∠ABC=∠ACC′+∠A′BA．理由如下：
∵△A′B′C′是△ABC绕点O旋转所得
∴∠A′OA=∠COC′
∵∠A′BA=∠A′OA
∴∠A′BA=∠COC′
∵∠ACC′=∠AOC′
∴∠A′BA+∠ACC′=∠COC′+∠AOC′=∠AOC
∵∠ABC=∠AOC
∴∠ABC=∠A′BA+∠ACC′；

（3）∠A′BA=∠ACC′，理由如下：
∵∠ABC=∠COC
∵∠ACC′=∠COC′
∴∠ACC′=∠ABC
∵∠ABC=∠A′BA+∠ACC′
∴∠A′BA=∠ACC′．
分析：（1）根据旋转的性质，即可写出结论；
（2）∠ABC=∠ACC′+∠A′BA，根据旋转的性质：旋转角相等，依据圆周角定理：圆周角等于同弧所对的圆周角的一半，即可证得；
（3）圆周角定理：圆周角等于同弧所对的圆周角的一半，以及∠ABC=∠A′BA+∠ACC，即可证得．
点评：本题考查了旋转的性质以及圆周角定理，关键是正确理解定理，找到各个角之间的关系．