Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形ABQP的面积为S平方米．

（1）求面积S与时间t的关系式；
（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，直接写出此时点P的位置； 若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）过点P作PE⊥BC于E，利用勾股定理求出AC的长，AP=2t，CQ=t，则PC=10-2t，又PE∥AB，根据平行线分线段成比例列出比例式即可得出PE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC，再判断出方程根的情况即可；
（3）有三种情况：①PC=QC，②PQ=QC，③PQ=PC，代入得出关于t的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）过点P作PE⊥BC于E．

Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（米），
由题意知：AP=2t，CQ=t，则PC=10-2t
由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB
∴$\frac{PE}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$，
即：$\frac{PE}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴PE=$\frac{3}{5}$（10-2t）=-$\frac{6}{5}$t+6，
又∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴S=S_△ABC-S_△PCQ=24-$\frac{1}{2}$•t•（-$\frac{6}{5}$t+6）=$\frac{3}{5}$t²-3t+22，
即：S=$\frac{3}{5}$t²-3t+24．

（2）假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则有：$\frac{3}{5}$t²-3t+24=12
即：t²-5t+20=0
∵b²-4ac=（-5）2-4×1×20＜0
∴方程无实根
∴在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．

（3）（2）解：①当PC=QC时，有t=10-2t，t=$\frac{10}{3}$，
②当PQ=QC时，有 $\frac{\frac{1}{2}（10-2t）}{t}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{25}{9}$ （秒），
③当PQ=PC时，有 $\frac{\frac{1}{2}t}{10-2t}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{80}{21}$（秒），
所以，当t为 $\frac{10}{3}$秒、$\frac{25}{9}$秒、$\frac{80}{21}$秒时，△PQC为等腰三角形．

点评 本题主要考查对等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．