Question

19．已知，如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，过E做ED⊥AB于D，连接DC交AE于F，其中BD=1．则在下列结论中：①AE⊥DC；②AB=2+$\sqrt{2}$；③$\frac{AE}{CD}$=2；④AE•CD=2+2$\sqrt{2}$．其中正确的结论是①②④．

Answer 1

分析 根据已知条件得到∠B=45°根据等腰直角三角形的性质得到BD=DE=1，BE=$\sqrt{2}$，根据角平分线的性质得到DE=CE=1，求得BC=1+$\sqrt{2}$，根据等腰直角三角形的性质得到AB=$\sqrt{2}$BC=2+$\sqrt{2}$，故②正确；根据全等三角形的性质得到AD=AC，于是得到AE⊥DC；故①正确；根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2\sqrt{2}+4}$，由三角形的面积公式得到CF=$\frac{AC•CE}{AE}$=$\frac{（1+\sqrt{2}）×1}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$，于是得到$\frac{AE}{CD}$=$\frac{2\sqrt{2}+4}{2\sqrt{2}+2}$=$\sqrt{2}$，故③错误；AE•CD=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$×$\sqrt{2\sqrt{2}+4}$=2$\sqrt{2}$+2，故④正确．

解答 解：∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∵ED⊥AB，
∴BD=DE=1，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∵AE平分∠BAC交BC于E，∠C=90°，ED⊥AB，
∴DE=CE=1，
∴BC=1+$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=2+$\sqrt{2}$，故②正确；
在Rt△ADE与Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ACE，
∴AD=AC，
∴AE⊥DC；故①正确；
∵CE=1，AC=BC=1+$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2\sqrt{2}+4}$，
∴CF=$\frac{AC•CE}{AE}$=$\frac{（1+\sqrt{2}）×1}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$，
∴CD=2CF=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{2\sqrt{2}+4}{2\sqrt{2}+2}$=$\sqrt{2}$，故③错误；
AE•CD=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$×$\sqrt{2\sqrt{2}+4}$=2$\sqrt{2}$+2，故④正确，
∴正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并判断出等腰直角三角形是解题的关键．