Question

【题目】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．

解：设S＝1+2+3+…+100 ①

则S＝100+99+98+…+1 ②

①+②，得（即左右两边分别相加）：

2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），

＝，

＝100×101，

所以，S＝③，

所以，1+2+3+…+100＝5050．

后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题．

（1）计算：1+2+3+…+101；

（2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　；

（3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000．

方法1：

方法2：

Answer 1

【答案】（1）5151；（2），（3）见解析.

【解析】

（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值；
（2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果；
（3）根据题目中的例子可以用两种方法求出所求式子的值

（1）设S＝1+2+3+…+101①，

则S＝101+100+…+3+2+1②，

①+②，得

2S＝102+102+102+…+102＝101×102，

∴S＝＝5151，

即1+2+3+…+101＝5151；

（2）猜想：1+2+3+…+n＝，

故答案为：；

（3）方法一：1001+1002+…+2000

＝（1+2+3+…+2000）﹣（1+2+3+…+1000）

＝﹣

＝2001000﹣500500

＝1500500；

方法2：设S＝1001+1002+…+2000，

则S＝2000+1999+…+1001，

两式相加，得

2S＝1000×3001，

则S＝＝1500500，

即1001+1002+…+2000＝1500500．