Question

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______．
（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．
（图2，图3供解题用）

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案为：8．

（2）AP•CQ的值不会改变．
理由如下：
∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：AD=CD：CQ．
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（AC）2=8．

（3）当2＜x＜4，即2＜CQ＜4时，0°＜a＜45°，
此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=，
则y=AB•BC-CQ•DN-AP•DG
=8-x-（2＜x＜4）
∴y与x的函数关系式为：y=8-x-（2＜x＜4）．
分析：（1）由题意易证得：△APD∽△CDQ，然后由相似三角形的性质即可求得答案；
（2）不会改变，关键是还是证△APD∽△CDQ，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠APD=∠QDC，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变；
（3）首先可得当2＜x＜4，即2＜CQ＜4时，0°＜a＜45°，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，又由y=AB•BC-CQ•DN-AP•DG，即可求得答案．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及二次函数等知识的综合应用．此题难度较大，注意数形结合思想与函数思想的应用．