在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点为M,直线y2=x,点P(n,0)为x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线分别交抛物线
和直线y2=x于点A,点B.
⑴直接写出A,B两点的坐标(用含n的代数式表示);
⑵设线段AB的长为d,求d关于n的函数关系式及d的最小值,并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系;
⑶已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为整数且a≠0),对一切实数x恒有
x≤y≤,求a,b,c的值.
解:(1),. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
(2) =AB==.
∴ ==.
∴ 当时,取得最小值.
当取最小值时,线段OB与线段PM的位置
关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM. (如图)
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分
(3) ∵ 对一切实数恒有 ≤≤,
∴ 对一切实数,≤≤都成立. () ①
当时,①式化为 0≤≤.
∴ 整数的值为0
此时,对一切实数,≤≤都成立.()
|
由②得 ≥0 () 对一切实数均成立.
|
由⑤得整数的值为1.
此时由③式得,≤对一切实数均成立. ()
即≥0对一切实数均成立. ()
当a=2时,此不等式化为≥0,不满足对一切实数均成立.
当a≠2时,∵ ≥0对一切实数均成立,()
|
∴ 由④,⑥,⑦得 0 <≤1.
∴ 整数的值为1.
∴ 整数,,的值分别为,,. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
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