Question

【题目】如图，AB丄CD于点E,且AB = CD = AC,若点I是三角形ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点.下列结论：①∠AIC= 135°;②BD = BI,③S△AIC = S△BID ；④IF⊥AC.其中正确的是_________（填序号）.

Answer 1

【答案】①

【解析】

由点I是角平分线的交点得到∠CAI+∠ACI =(∠CAE+∠ACE)=×90°=45°，故∠AIC=180°- （∠CAI+∠ACI）=135°，即可判断①；分别过I点作AB,AC,CD的垂线交于G,H,Q点，根据点I是角平分线的交点得到IG=IH=IQ,再利用三角形全等得到AH=AG,GE=QE,HC=QC，又AB = CD = AC，故可得DQ=AG=AH，故可证明△AIG≌△DIQ,△QIC=≌△GIB，不能得到BG=DE，从而不能得到BD=BI，故可判断②；S△AIC= S△AIH + S△CIH= S△DIQ + S△CIQ,由于不能证明P点为CD中点，故S△CPI ≠ S△DPB，

故可判断③S△AIC = S△BID错误；F点为BD中点，要想证明IF⊥AC，只需证明H、I、F共线，题设中条件不足以证明，故可判断④.

∵点I是角平分线的交点

∴∠CAI+∠ACI =(∠CAE+∠ACE)=×90°=45°，

则∠AIC=180°- （∠CAI+∠ACI）=135°，①正确；

分别过I点作AB,AC,CD的垂线交于G,H,Q点，

根据点I是角平分线的交点得到IG=IH=IQ,

又AI=AI,∠GAI=∠HAI，故△AGI≌△AHI

同理△HIC≌△QIC

故AH=AG,GE=QE,HC=QC，

又AB = CD = AC，故可得DQ=AG=AH,

由AC=DC,∠ACI=∠DCI,IC=IC,得△ACI≌△DCI，

∴AI=DI,又∵GI=QI，所以RT△AIG≌RT△DIQ,

同理可得：△QIC≌△GIB，

∴BG=AB-AG.DE=CD-CE

不能得到BG=DE,∴△BGI与△DEB不全等，故②错误；

∵S△AIC= S△AIH + S△CIH= S△DIQ + S△CIQ,

由于不能证明P点为CD中点，故③S△AIC = S△BID错误；

F点为BD中点，要想证明IF⊥AC，只需证明H、I、F共线，题设中条件不足以证明，故④错误.

故填：①.