观察下列各式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;…
(1)根据上面各式的规律可得:(x-1)(xn+xn-1+…+x2+x+1)=________(其中n为正整数);
(2)利用上述规律,求1+2+22+23+…+250的值.
分析:(1)认真观察三个等式,可发现它们的共同特征是:等号左边第一个含括号的式子相同,都是(x-1);从第二个式子开始,等号左边第二个含括号的式子在前一个式子的基础上依次添加了x2、x3、…,而等号右边则依次是x3、x4、…与1的差.于是就能得到规律:(x-1)(xn+xn-1+…+x2+x+1)=xn+1-1.(2)设x=2,n=50,根据(1)题得到的规律,可以使问题得到解决. 解:(1)填xn+1-1; (2)在(x-1)(xn+xn-1+…+x2+x+1)中,若x取2,n取50,则可得(2-1)(250+249+…+22+2+1)=251-1. 故1+2+22+23+…+250=251-1. 点评:在解答此类题时,应认真观察各项之间的变化,寻找规律,然后利用规律解题. |
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2008×2009 |
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