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观察下列各式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;…

(1)根据上面各式的规律可得:(x-1)(xn+xn-1+…+x2+x+1)=________(其中n为正整数);

(2)利用上述规律,求1+2+22+23+…+250的值.

答案:
解析:

  分析:(1)认真观察三个等式,可发现它们的共同特征是:等号左边第一个含括号的式子相同,都是(x-1);从第二个式子开始,等号左边第二个含括号的式子在前一个式子的基础上依次添加了x2、x3、…,而等号右边则依次是x3、x4、…与1的差.于是就能得到规律:(x-1)(xn+xn-1+…+x2+x+1)=xn+1-1.(2)设x=2,n=50,根据(1)题得到的规律,可以使问题得到解决.

  解:(1)填xn+1-1;

  (2)在(x-1)(xn+xn-1+…+x2+x+1)中,若x取2,n取50,则可得(2-1)(250+249+…+22+2+1)=251-1.

  故1+2+22+23+…+250=251-1.

  点评:在解答此类题时,应认真观察各项之间的变化,寻找规律,然后利用规律解题.


练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

探索规律
观察下列各式及验证过程:n=2时有式①:
2
3
=
2+
2
3
n=3时有式②:
3
8
=
3+
3
8

式①验证:
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证:
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

(1)针对上述式①、式②的规律,请写出n=4时的式子;
(2)请写出满足上述规律的用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并加以验证.

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科目:初中数学 来源: 题型:

猜想、探索规律
(1)某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验;第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第100组应该有种子数.
 
粒;
(2)已知a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
,…
,依据上述规律,则a99=
 

(3)下图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,…,那么第101个图案中由
 
个基础图形组成;
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(4)观察下列各式:
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
,…,根据观察计算:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009

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8、观察下列各式,1×3=22-1;3×5=42-1;5×7=62-1;7×9=82-1;…由此,想到此例包含的规律可以用下式(  )表示.

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24、观察下列各式:2×4=32-1,3×5=42-1,4×6=52-1,…,10×12=112-1,…,将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来:
n(n+2)=(n+1)2-1

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14、观察下列各式:
(1)1=12;(2)2+3+4=32;(3)3+4+5+6+7=52;(4)4+5+6+7+8+9+10=72; …
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是(  )

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