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已知:如图,四边形ABCD为正方形,以AB为直径的半圆O1和以O1C为直径的⊙O2交于点F,连CF并延长交AD于点H,FE⊥AB于点E,BG⊥CH于点G.
(1)求证:BC=AE+BG;
(2)连AF,当正方形ABCD的边长为6时,求四边形ABGF的面积.

(1)证明:连O1F、BF
∵O1C为⊙O2的直径
∴O1F⊥CH
∴CF为⊙O1的切线
∵∠ABC=90°
∴BC为⊙O1的切线
∴CB=CF
∴∠BFC=∠FBC
∵EF⊥AB
∴EF∥BC
∴∠EFB=∠FBC=∠BFC
又∵∠BGF=∠BEF=90°,BF=BF
∴△BGF≌△BEF
∴BG=BE
∴BG+AE=BE+AE=AB
∵正方形ABCD
∴BC=AB=BG+AE

(2)解:∵正方形ABCD的边长为6
∴BC=6,AO1=BO1=3
又∵BC、CF为⊙O1的切线
∴BC=CF,∠BCO1=∠FCO1∴CO1⊥BF,
∵∠O1BC=90°
∴∠O1BF=∠O1CB
∵∠O1BC=∠AFB=90°
∴△O1BC∽△AFB

∵在Rt△AFB中,AB=6
∴AF=,BF=
在Rt△AFB中,EF⊥AB
∴AE=
∴BE=
∴EF=
∴S△AEF=,S△BEF=S△BFG=
∴S四边形AFGB=
分析:(1)连O1F、BF,利用全等三角形的判定方法可得到,△BGF≌△BEF,再根据全等三角形的性质得到BG=BE从而可得到所求的结论.
(2)连O1H,根据正方形的性质及平行线的性质求得AE等线段的值,再根据三角形的面积公式即可求得四边形ABGF的面积.
点评:此题主要考查了圆的切线长定理,充分利用切线构造全等条件证明全等三角形,然后利用全等三角形的性质和正方形的性质解决问题.
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