Question

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2mx+m²-1与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求线段AB的长；
（3）抛物线与y轴交于点C（点C不与原点O重合），若△OAC的面积始终小于△ABC的面积，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将抛物线配方成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出y=0时x的值即可得；
（3）由△OAC与△ABC等高且△OAC的面积小于△ABC的面积，知OA＜AB，分点A在x轴的正半轴和点A在x轴的负半轴解答可得．

解答 解：（1）y=x²-2mx+m²-1=（x-m）²-1，
∴顶点为（m，-1）；

（2）令y=0
∴x²-2mx+m²-1=0
解得：x₁=m-1，x₂=m+1，
∵点 A在点B的左侧，
∴A（m-1，0），B（m+1，0），
∴AB=（m+1）-（ m-1 ）=2；


（3）∵△OAC与△ABC等高
△OAC的面积小于△ABC的面积
∴OA＜AB，
①当点A在x轴的正半轴上时，
如图1，

则m-1＜2，解得：m＜3；

②当点A在x轴的负半轴上时，

则1-m＜2，解得：m＞-1，
又∵点C不与原点O重合，
∴m ²-1≠0，m≠±1，
∴-1＜m＜3且 m≠1．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质及分类讨论思想的运用是解题的关键．