Question

【题目】定义：如图1，点把线段分割成,若以为边的三角形是一个直角三角形，则称是线段的勾股点。

(1)已知点是线段的勾股点，若,求的长。

(图1) （图2） （图3）

(2)如图2，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交与两点，过点分别向轴作垂线，垂足为，且交线段于。试证明：是线段的勾股点。

(3)如图3，已知一次函数与坐标轴交与两点，与二次函数交与两点，若是线段的勾股点，求的值。

Answer 1

【答案】(1) 或者;(2)见解析;(3)

【解析】分析：(1) 分两种情况:①当MN为最大线段时,由勾股定理求出BN;②当BN为最大线段时,由勾股定理求出BN即可;(2)根据题意可得点A、B、E的坐标，并得出△BDF、△PEF、 △ACE均为等腰直角三角形，利用两点之间的距离公式可得BF、AE、EF的长，进而求出从而得证;(3) 过C作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F, 设C，D,由根与系数的关系和根的判别式可得，由OE+OF=3，OB=3可得OE=BF，由△BDF、△PEF、 △ACE均为等腰直角三角形，可得AC=BD，由AC=BD=a=，EF=，可得m的值.

详解：（1）由题意，BN为斜边时，BN=

BN为直角边时，BN=

∴ BN的长为或者.

（2）易知A（2,0），B（0,2）且P（a,b）由题意知E（a,-a+2），且△BDF、△PEF、 △ACE均为等腰直角三角形.

∴ BF==，AE=，EF=

可求出,∴E、F是线段AB的勾股点.

（3）由题意，∵C、D为A、B的勾股点，所以C、D必在A、B之间,

过C作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F。

由题意，设C，D

联立,得

∴ ,

且

∴OE+OF=3

又∵OF+BF=3 ∴OE=BF

∵以AC、CD、BD为斜边的三个三角形都为等腰直角三角形。

∴ AC=BD

则由题意必有 且 ,

设AC=BD=a,则CD=，又AB=

∴

∴EF= ,

∴

解得