Question

（1）如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出真命题，并加以证明．
①AB=AC，②AD=AE，③BD=CE．

（2）如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E、…，某人在河岸PQ的A处测得∠CAQ=30°，然后延河岸走了110米到达B处，测得∠DBQ=45°，求河流的宽度（结果可带根号）．

Answer 1

【答案】分析：（1）任意选择其中两个作为条件，另一个作为结论，都构成真命题，可以通过证明△ABD≌△ACE证出结论；
（2）应合理应用∠CAQ的度数，CD的长度，所以过点D作CA的平行线得到平行四边形．过点D向对边引垂线，得到直角三角形，进而利用三角函数值求得河宽．
解答：解：（1）解法一：如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．（1分）
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
同理∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC．（2分）
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE；（3分）
解法二：如果AD=AE，BD=CE，那么AB=AC．（1分）
证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC．（2分）
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE，∴AB=AC；（3分）
解法三：如果BD=CE，AB=AC，那么AD=AE．（1分）
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．（2分）
在△ABD和△ACE中
∵，
∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．（3分）
（此题还有其他的证明方法，不再一一列举，酌情分步给分）

（2）过D作DH∥CA交PQ于H，过D作DG⊥PQ，垂足为G，（4分）
∵PQ∥MN，DH∥CA
∴四边形CAHD是平行四边形．
∴AH=CD=50，∠DHQ=∠CAQ=30°（5分）
在Rt△DBG中，∵∠DBG=∠BDG=45°，
∴BG=DG，设BG=DG=x，
在Rt△DHG中，得HG=x，（6分）
又BH=AB-AH=110-50=60，
∴60+x=x，
∴x=30+30（米）．
河流的宽为（30+30）米．（7分）
点评：本题考查锐角三角函数的应用．难点是作出辅助线，利用三角函数求解．